Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(2;3;4). Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng (Oxy), N thuộc trục Oz sao cho AN vuông góc vớ
Đáp số: Đ-S-S-Đ
a) \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\)
\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1;3 - 2;4 - 3) = (1;1;1)\).
Kết luận: Ý (a) Đúng.
b) Hoành độ của điểm \(M\) bằng \( - 1\).
Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 + t\end{array} \right..\)
\(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) với mặt phẳng \((Oxy)\). Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(z = 0\).
Thay vào phương trình đường thẳng \(AB:\)\(3 + t = 0 \Rightarrow t = - 3\).
Toạ độ điểm \(M\):
\({x_M} = 1 + ( - 3) = - 2\)
\({y_M} = 2 + ( - 3) = - 1\)
\({z_M} = 0\)
Vậy \(M( - 2; - 1;0)\).
Hoành độ của \(M\) là \( - 2\), không phải \( - 1\).
Kết luận: Ý (b) Sai.
c)\(MA > 0,AB > 0\) nên \(MA \ne - 3AB.\)
Kết luận: Ý (c) Sai.
d) \(\tan \widehat {NMB} = \frac{{\sqrt {42} }}{9}\)
Tìm tọa độ \(N\): \(N\) thuộc trục \(Oz\) nên \(N(0;0;{z_N})\).
\(\overrightarrow {AN} = ( - 1; - 2;{z_N} - 3)\).
Vì \(AN \bot AB\) nên \(\overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\):
\(( - 1) \cdot 1 + ( - 2) \cdot 1 + ({z_N} - 3) \cdot 1 = 0 \Rightarrow - 3 + {z_N} - 3 = 0 \Rightarrow {z_N} = 6\).
Vậy \(N(0;0;6)\).
Tính góc \(\widehat {NMB}\):
\(\overrightarrow {MN} = (0 - ( - 2);0 - ( - 1);6 - 0) = (2;1;6)\). Độ dài \(MN = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {6^2}} = \sqrt {41} \).
\(\overrightarrow {MB} = (2 - ( - 2);3 - ( - 1);4 - 0) = (4;4;4)\). Độ dài \(MB = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 3 \).
\(\cos \widehat {NMB} = \frac{{\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MB} }}{{MN \cdot MB}} = \frac{{2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 6 \cdot 4}}{{\sqrt {41} \cdot 4\sqrt 3 }} = \frac{{36}}{{4\sqrt {123} }} = \frac{9}{{\sqrt {123} }}\).
Tính \(\tan \):
Sử dụng công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\):
\({\tan ^2}\widehat {NMB} = \frac{{123}}{{81}} - 1 = \frac{{42}}{{81}} \Rightarrow \tan \widehat {NMB} = \frac{{\sqrt {42} }}{9}\) (vì \(\cos \widehat {NMB} > 0\) nên \(\tan \widehat {NMB} > 0\)).
Kết luận: Ý (d) Đúng.