Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 2), B(3; 2; 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,1;\,\, - 5} \right)\) Þ AB = \(\sqrt {30} \).
Mặt cầu qua B và nhận A làm tân nên AB làm bán kính.
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 30.
b) Sai. Gọi I là trung điểm AB =>\(I\left( {2;\,\,\frac{3}{2};\,\, - \frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên có tâm là trung điểm I và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {30} }}{2}\).
Vậy phương trình cần tìm là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).
c) Đúng. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 5 = 0 nên \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 4\) có phương trình:
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16.
d) Sai. Ta có: I Ox => I(a; 0; 0).
Vì mặt cầu qua A, B nên IA = IB
<=> (a – 1)2 + 1 + 4 = (a – 3)2 + 4 + 9
<=> 4a = 16 => a = 4
Do đó, I(4; 0; 0), R = IA =\(\sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu tâm I(4; 0; 0) và có bán kính R =\(\sqrt {14} \) là: x2 + y2 + z2 - 8x + 2 = 0.