Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho điểm A ( 1;1;2)

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có \({R^2} = A{B^2} = {\left( {3 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - 2} \right)^2} = 30\).

Vậy phương trình mặt cầu tâm \(A\), đi qua \(B\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 30\).

c) Sai.

Tâm của mặt cầu là trung điểm \(M\) của \(AB\), \(M\left( {2;\,\frac{3}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)\).

\({R^2} = M{A^2} = {\left( {1 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).

Vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).

d) Sai.

Gọi \[I\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {1 - a\,;\,1\,;\,2} \right);\,\overrightarrow {IB} \left( {3 - a\,;\,2\,; - 3} \right)\].

Do \[\left( S \right)\] đi qua hai điểm \[A,\,B\] nên \[IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5}  = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \]\[ \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4\]

\[ \Rightarrow \left( S \right)\] có tâm \[I\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\], bán kính \[R = IA = \sqrt {14} \].