Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm

13/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A(3; - 4;1)\), \(B(1;1; - 1)\) và \(C(2;0; - 3)\). Khi đó

[NB] Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) có tọa độ là \((0;0;1)\).

ĐúngSai

[TH] Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \((2;1; - 1)\).

ĐúngSai

[TH] Biết rằng điểm \(I\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0\). Cao độ của điểm \(I\) bằng \(2.\)

ĐúngSai

[VD,VDC] Xét \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \((Oxy)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = M{A^2} + 3M{B^2} - 2M{C^2}\) bằng \(\frac{{13}}{2}\)

ĐúngSai

Giải thích

a) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) có tọa độ là \((3; - 4;0)\).

Suy ra câu a) Sai.

b)Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \((2; - 1; - 1)\).

Suy ra câu b) Sai.

c) \(\overrightarrow {OI} = \frac{{\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC} }}{{1 + 3 - 2}} \Rightarrow I\left( {1; - \frac{1}{2};2} \right)\)

Suy ra câu c) Đúng.
d) \(S = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + 3{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} - 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2}\)
\( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA} + I{A^2} + 3M{I^2} + 3 \cdot 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IB} + 3I{B^2} - 2M{I^2} - 2 \cdot 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IC} - 2I{C^2}\)
\( = 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} ) + (I{A^2} + 3I{B^2} - 2I{C^2})\)
\( \Leftrightarrow S = 2M{I^2} + \mathop {(I{A^2} + 3I{B^2} - 2I{C^2})}\limits_{} \)
\({S_{min}}\) khi \(M{I_{min}} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) lên \((Oxy)\) hay \(M\left( {1; - \frac{1}{2};0} \right)\)

Khi đó: \(M{I^2} = 4\), \(I{A^2} = \frac{{69}}{4}\), \(I{B^2} = \frac{{45}}{4}\), \(I{C^2} = \frac{{105}}{4}\)

Vậy \({S_{min}} = \frac{{13}}{2}\).