Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−2; 0; 0), B(0; −2; 0), C(0; 0; −2). Điểm D khác gốc tọa độ sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc.

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0; - 2} \right)\]. Điểm \[D\] khác gốc tọa độ sao cho \[DA,DB,DC\] đôi một vuông góc.

Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình \[\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = - 1\].

ĐúngSai

Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {Oxy} \right)\] bằng \[\frac{1}{{\sqrt 3 }}\].

ĐúngSai

Tọa độ điểm \[D\] là \[\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\]

ĐúngSai

Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\], ta có \[a + b + c = - 1\].

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng. Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình \[\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = - 1\].

b) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right)\] là VTPT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;0;1} \right)\] là VTPT mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1\] và \[\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| = \sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right| = 1\].

Do đó \[\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

c) Sai. Gọi \[D\left( {x;y;z} \right)\], \[\overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;y;z} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {x;y + 2;z} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {x;y;z + 2} \right)\].

Vì \[DA,DB,DC\] đôi một vuông góc

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD} = 0\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2z = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\]

Lấy \[\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\] ta được \[y = z\], Lấy \[\left( 2 \right) - \left( 3 \right)\] ta được \[x = y\], Lấy \[\left( 1 \right) - \left( 3 \right)\] ta được \[x = z\]

Do đó \[3{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = - \frac{4}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\].

Vậy \[D\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\].

d) Sai.

Ta có \[\left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {IB} } \right| \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2} \Leftrightarrow a = b\]

Chứng minh tương tự, ta được \[\left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {IB} } \right| = \left| {\overrightarrow {IC} } \right| \Leftrightarrow a = b = c\]

Khi đó \[\left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {ID} } \right| \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {a^2} + {a^2} = 3{\left( {a + \frac{4}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\]

Do đó \[I\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\].

Vậy \[a + b + c = 1\].