Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm A ( 1;2 ;3)

18/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;\;2;\;3} \right)\), \[B\left( {1;\;2;\;5} \right)\] và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + z + 5 = 0\). Biết điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm \(M\).

Giải thích

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1;\;2;\;4} \right)\)

\[MA{\,^2} + MB{\,^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + IA{\,^2} + MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + IB{\,^2}\]

\( = 2.MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) + IA{\,^2} + IB{\,^2} = 2.MI{\,^2} + IA{\,^2} + IB{\,^2}\)

\(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(2.MI{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(\left( \alpha \right):x - 2y + z + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;\; - 2;\;1} \right)\)

Do \(M \in \left( \alpha \right)\) nên \(M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right)\\\overrightarrow {IM} = k.\overrightarrow n \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 2{y_0} + {z_0} + 5 = 0\\{x_0} - 1 = k\\{y_0} - 2 = - 2k\\{z_0} - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 4\\{z_0} = 3\\k = - 1\end{array} \right.\)

Vậy tung độ của điểm \(M\) là \(4\).