Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 4z + 5 = 0.

14/22

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho ba điểm \[A\left( {2;1; - 1} \right),B\left( {3;0;1} \right),C\left( {2; - 1;3} \right)\] và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 4z + 5 = 0\).

Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) di động trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) bằng \(26 + 8\sqrt {14} \).

ĐúngSai

Phương trìnhmặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z - 2 = 0\).

ĐúngSai

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\).

ĐúngSai

Độ dài đoạn thẳng\(AB\) bằng \(\sqrt 6 \).

ĐúngSai

Giải thích

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng.

a) Đúng.

Gọi \(I\) điểm thoả mãn: \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {3;1; - 1} \right)\);

Ta có \(\overrightarrow {IK} = \left( { - 1; - 2;3} \right) \Rightarrow IK = \sqrt {14} > R\).

Khi đó:

\(P = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = 2M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}\).

Ta có \(I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}\) không đổi nên biểu thức \(P\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(MI\) có giá trị lớn nhất.

Vậy c) sai. d) Đúng. (ảnh 1)

Khi \(MI\) có giá trị lớn nhất, ta có \(M{I_{\max }} = IK + R = 2 + \sqrt {14} \) .

Ta có \(I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} = 1 + 10 - 21 = - 10 \Rightarrow {P_{\max }} = - 10 + 2{\left( {2 + \sqrt {14} } \right)^2} = 26 + 8\sqrt {14} \).

b) Sai.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 2;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \[A\left( {2;1; - 1} \right)\] và có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) có phương trình:

\(1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 1 \cdot \left( {y - 1} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - z - 2 = 0\).

c) Sai.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(K\left( {2; - 1;2} \right),R = 2\).

Ta có \(d\left( {K,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - \left( { - 1} \right) - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 2 = R\) nên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) cắt mặt cầu \((S)\).

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 6 \).