Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−3; 5; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

65/235

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 3;5;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

\(D\left( { - 4;8; - 5} \right)\).

\(D\left( { - 4;8; - 3} \right)\).

\(D\left( { - 2;8; - 3} \right)\).

\(D\left( { - 2;2;5} \right)\).

Giải thích

Phương pháp giải: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

Giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;3;2} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( { - 3 - x;5 - y;1 - z} \right)\).

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = - 3 - x}\\{ - 3 = 5 - y}\\{4 = 1 - z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{y = 8}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ điểm \(D\) là \(D\left( { - 4;8; - 3} \right)\).