Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA^2+2MB^2-MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

71/95

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1),B(-1;1;0),C(1;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $3M{A}^{2}+2M{B}^{2}-M{C}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$M\left. (-\frac{3}{4};\frac{1}{2};2) \right.$.

$M\left. (-\frac{3}{4};\frac{3}{2};-1) \right.$.

$M\left. (\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1) \right.$.

$M\left. (-\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1) \right.$.

Giải thích

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn
\[
3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}.
\]

Ta có:
\[
3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}
\]

\[
\Leftrightarrow
3(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI})
+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI})
-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI})
=\vec{0}
\]

\[
\Leftrightarrow
4\overrightarrow{OI}
=3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}
\]

\[
\Leftrightarrow
\overrightarrow{OI}
=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}
+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}
-\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}
\]

Do đó,
\[
I\left(\frac{-3}{4},\frac{1}{2},-1\right).
\]

Mặt khác:
\[
3MA^2+2MB^2-MC^2
\]

\[
=3(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM})^2
+2(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM})^2
-(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM})^2
\]

\[
=3IA^2+2IB^2-IC^2+4IM^2
-2\overrightarrow{IM}(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC})
\]

\[
=3IA^2+2IB^2-IC^2+4IM^2
-2\overrightarrow{IM}\cdot\vec{0}
\]

\[
=3IA^2+2IB^2-IC^2+4IM^2.
\]

Để $3M{A}^{2}+2M{B}^{2}-M{C}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M≡I$. Vậy $M\left. (-\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1) \right.$.

Đáp án đúng là D