Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A (a;0;0), B (0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c đều dương

20/22

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c\) đều dương. Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) sao cho độ dài \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng 2. Tính khoảng cách từ điểm \(K\left( {2;5; - 1} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Lời giải

Đáp án: \(1,86\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) nên \(\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{b} + \frac{3}{c} = 1\)

Vì \(a,b,c\) đều dương, ta có \(OA = a,OB = b,OC = c\)

Độ dài \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên \(a = b - 2\) và \(c = b + 2\).

Do đó, ta có \(\frac{2}{{b - 2}} + \frac{{ - 2}}{b} + \frac{3}{{b + 2}} = 1\)

- \(2b\left( {b + 2} \right) - 2\left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right) + 3b\left( {b - 2} \right) = b\left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right)\)

- \({b^3} - 3{b^2} - 2b - 8 = 0\)

- \(b = 4\)

Với \(b = 4 \Rightarrow a = 2,c = 6\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1\) hay \(6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(K\left( {2;5; - 1} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(d = \frac{{\left| {6.2 + 3.5 + 2.\left( { - 1} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{13}}{7} \approx 1,86\).