Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(- 1;4;4)

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \({\vec u_1} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right)\)

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec u_2} = \left( {2;3; - 5} \right)\) và điểm \(D\left( {2;3; - 4} \right) \in d.\)

Do 2 véc tơ \({\vec u_1},\,{\vec u_2}\) không cùng phương nên \(AB,\,\,d\) chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lại có \(\overrightarrow {AD} = \left( {3; - 1; - 8} \right),\,\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right),\,\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}].\overrightarrow {AD} = 78 \ne 0\) nên 3 véc tơ \({\vec u_1},\,{\vec u_2},\,\,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng \( \Rightarrow AB\) và \(d\) chéo nhau.

Trả lời: Đúng

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AB\) và \(d\), ta có \[\cos \varphi = \frac{{|{{\vec u}_1}.\,{{\vec u}_2}|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right|\,.\left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{| - 6 + 6 - 5|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {38} }} = \frac{5}{{\sqrt {14} .\sqrt {38} }} \ne \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi \ne {60^0}.\]

Trả lời: Sai

c) Ta có \(AB = \sqrt {14} ,\,\,{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right)\) trong đó \(d\left( {C,AB} \right)\) là khoảng cách từ \(C\) đến \(AB.\)

Do \(AB\) không đổi nên \({S_{ABC}}\,\min \) khi \[d\left( {C;AB} \right)\,\min = d\left( {d;AB} \right) = \frac{{\left| {[{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{|[{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}]|}} = \frac{{78}}{{13\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \].

Vậy \(\min {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {d,AB} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {14} \cdot 2\sqrt 3 = \sqrt {42} .\)

Trả lời: Đúng

d) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(d\)

\( \Rightarrow {\vec u_\Delta }\) cùng phương với \(\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right) = - 13\left( {1;1;1} \right)\). Chọn \({\vec u_\Delta } = \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và \(AB \Rightarrow {\vec n_P} = [{\vec u_\Delta },\,\overrightarrow {AB} ] = \left( { - 1; - 4;5} \right)\)

Phương trình \((P):\,\,x + 4y - 5z + 5 = 0\)

Gọi \(N\) là giao điểm của \((P)\) và \(d \Rightarrow N\left( {0;0;1} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(N\) và có véc tơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {1;1;1} \right)\), ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;3;3} \right) = 3{\vec u_\Delta }\)nên \(M \in \Delta .\)

Trả lời: Đúng