Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; -2; -2), B(5; -2; 6), C(-3; -2; 6), D(1; -6; 6). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 6} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4 = {a^2} - 10a + 25 + {c^2} - 12c + 36\\{a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4 = {a^2} + 6a + 9 + {c^2} - 12c + 36\\{b^2} + 4b + 4 + {c^2} + 4c + 4 = {b^2} + 12b + 36 + {c^2} - 12c + 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right.\].

Do đó, I(1; -2; 3), R² = IA² = (1 – 1)² + (-2 + 2)² + (3 + 2)² = 25.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 25.