Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z , cho tứ diện A B C D có A ( 1 ; 3 ; − 2 ) , B ( − 1 ; − 1 ; 0 ) , C ( 3 ; 1 ; − 1 ) , D ( 0 ; 2 ; − 2 ) . Tìm tọa độ điểm M

Gọi \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(f = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\).

Bài toán trở thành tìm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì \({z_I}.{z_D} > 0\) nên điểm \(I\) và \(D\) nằm cùng phía với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(I'\left( {1;1;1} \right)\) là điểm đối xứng với \(I\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI'} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) \ge 3I'D\).

Để \(f\) nhỏ nhất thì \(I';M;D\) thẳng hàng suy ra \(\overrightarrow {I'M} \) và \(\overrightarrow {I'D} \) cùng hướng

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 1}} = \frac{{b - 1}}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 3}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};0} \right)\).