Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z , cho hai điểm A ( 6 ; 0 ; 4 ) , B ( − 3 ; − 2 ; 1 ) và mặt phẳng ( P ) :

8/8

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $A (6; 0; 4)$ , $B (- 3; - 2; 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + 5 z + 1 = 0$ . Biết $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M A + M B$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính độ dài đoạn $O M$ (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).

Giải thích

Đáp án: 3,48.

Đặt $f (x; y; z) = x + y + 5 z + 1$

$f (A) = 6 + 0 + 5.4 + 1 = 27 > 0$

$f (B) = - 3 - 2 + 5.1 + 1 = 1 > 0$

Suy ra hai điểm $A, B$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(P)$ .

Gọi $C$ là điểm đối xứng với $B$ qua mặt phẳng $(P)$ .

Ta có $M A + M B = M A + M C \geq A C$ .

$M A + M B$ nhỏ nhất bẳng $A C$ khi $A, M, C$ thẳng hàng.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $(P)$ .

Phương trình đường phẳng $B H$ : ${\begin{array}{l} x = - 3 + t \\ y = - 2 + t \\ y = 1 + 5 t \end{array}$ .

Tọa độ $H$ là nghiệm $(x; y; z)$ của hệ

${\begin{array}{l} x = - 3 + t \\ y = - 2 + t \\ y = 1 + 5 t \\ x + y + 5 z + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = - 3 + t \\ y = - 2 + t \\ y = 1 + 5 t \\ (- 3 + t) + (- 2 + t) + 5 (1 + 5 t) + 1 = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = - 3 + t \\ y = - 2 + t \\ y = 1 + 5 t \\ 27 t + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = - \frac{82}{27} \\ y = - \frac{55}{27} \\ z = \frac{22}{27} \\ t = - \frac{1}{27} \end{array}$

$H (- \frac{82}{27}; - \frac{55}{27}; \frac{22}{27})$ .

$H$ là trung điểm của $B C$ , tọa độ $C (- \frac{83}{27}; - \frac{56}{27}; \frac{17}{27})$ ;

Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $A C$ và mặt phẳng $(P)$ .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A C$ : $\vec{A C} = (- \frac{83}{27} - 6; - \frac{56}{27} - 0; \frac{17}{27} - 4) = (- \frac{245}{27}; - \frac{56}{27}; - \frac{91}{27})$

Ta chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng $A C$ là: $\vec{u} = - \frac{27}{7} \cdot \vec{A C} = (35; 8; 13)$ .

Phương trình tham số của đường thẳng $A C$ : ${\begin{matrix} x = 6 + 35 t \\ y = 8 t \\ z = 4 + 13 t \end{matrix}$

Thay $x, y, z$ vào phương trình mặt phẳng $(P) : x + y + 5 z + 1 = 0$ :

$(6 + 35 t) + 8 t + 5 (4 + 13 t) + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 6 + 35 t + 8 t + 20 + 65 t + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 108 t + 27 = 0 \Rightarrow t = - \frac{27}{108} = - \frac{1}{4}$

Suy ra $M (- \frac{11}{4}; - 2; \frac{3}{4})$

$O M = \sqrt{x_{M}^{2} + y_{M}^{2} + z_{M}^{2}}$

$O M = \sqrt{(- \frac{11}{4})^{2} + (- 2)^{2} + (\frac{3}{4})^{2}} = \sqrt{\frac{121}{16} + 4 + \frac{9}{16}}$

$O M = \sqrt{\frac{130}{16} + \frac{64}{16}} = \sqrt{\frac{194}{16}} = \frac{\sqrt{194}}{4} \approx 3, 48$ .