Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z , cho điểm M ( 3 ; 2 ; 1 ) . Mặt phẳng ( P ) qua M và cắt các trục O x , O y , O z lần lượt tại A , B , C sao cho M là trực tâm tam g

9/20

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {3;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\)qua \(M\)và cắt các trục \[Ox\], \[Oy\], \[Oz\] lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\).

\(3x + 2y + z - 14 = 0\).

\(x + y + z - 6 = 0\).

\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0\).

Giải thích

Đáp án đúng: B

Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) .

Vì M  (P) nên \(\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\) (1).

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {3 - a;2;1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {BM} = \left( {3;2 - b;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)\) .

Vì M là trực tâm tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b + c = 0\\ - 3a + c = 0\end{array} \right.\) (2).

Từ (1) và (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + c = 0\\ - 3a + c = 0\\\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{c}{2}\\a = \frac{c}{3}\\\frac{{14}}{c} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7\\a = \frac{{14}}{3}\\c = 14\end{array} \right.\) .

Do đó (P): \(\frac{{3x}}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{{14}} = 1\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = 0\) .