Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z , cho các điểm A ( − 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; − 2 ; 0 ) , C ( 0 ; 0 ; − 2 ) . Điểm D kh

5/8

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho các điểm $A (- 2; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; - 2)$ . Điểm $D$ khác gốc tọa độ sao cho $D A, D B, D C$ đôi một vuông góc.

a

Mặt phẳng $(A B C)$ có phương trình $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = - 1$ .

ĐúngSai

b

Cosin góc giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(O x y)$ bằng $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

ĐúngSai

c

Tọa độ điểm $D$ là $(\frac{4}{3}; \frac{4}{3}; \frac{4}{3})$

ĐúngSai

d

Gọi $I (a; b; c)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A B C D$ , ta có $a + b + c = - 1$ .

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng. Mặt phẳng $(A B C)$ có phương trình $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = - 1$ .

b) Đúng. Ta có $\vec{n_{1}} = (1; 1; 1)$ là VTPT mặt phẳng $(A B C)$ và $\vec{n_{2}} = (0; 0; 1)$ là VTPT mặt phẳng $(O x y)$ .

Khi đó $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1$ và $| \vec{n_{1}} | = \sqrt{3}, | \vec{n_{2}} | = 1$ .

Do đó $c o s ((A B C), (O x y)) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

c) Sai. Gọi $D (x; y; z)$ , $\vec{A D} = (x + 2; y; z), \vec{B D} = (x; y + 2; z), \vec{C D} = (x; y; z + 2)$ .

Vì $D A, D B, D C$ đôi một vuông góc

${\begin{array}{l} \vec{A D} . \vec{B D} = 0 \\ \vec{A D} . \vec{C D} = 0 \\ \vec{B D} . \vec{C D} = 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 2 y = 0 (1) \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 2 z = 0 (2) \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 y + 2 z = 0 (3) \end{array}$

Lấy $(1) - (2)$ ta được $y = z$ , Lấy $(2) - (3)$ ta được $x = y$ , Lấy $(1) - (3)$ ta được $x = z$

Do đó $3 x^{2} + 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (K T M) \\ x = - \frac{4}{3} (T M) \end{array}$ .

Vậy $D (- \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3})$ .

d) Sai.

Ta có $| \vec{I A} | = | \vec{I B} | \Leftrightarrow {(a + 2)}^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + {(b + 2)}^{2} + c^{2} \Leftrightarrow a = b$

Chứng minh tương tự, ta được $| \vec{I A} | = | \vec{I B} | = | \vec{I C} | \Leftrightarrow a = b = c$

Khi đó $| \vec{I A} | = | \vec{I D} | \Leftrightarrow {(- 2 - a)}^{2} + a^{2} + a^{2} = 3 {(a + \frac{4}{3})}^{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$

Do đó $I (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ .

Vậy $a + b + c = 1$ .