Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : (x − 4)/ 3 = (y − 1)/ − 1 =( z + 5)/− 2 và d2 :( x − 2)/ 1 = (y + 3)/ 3 = z/ 1 . Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả

42/48

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai đường thẳng\({d_1}:\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{z}{1}\). Mặt cầu cóbán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và có phương trình

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + y - z = 0\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 2z = 0\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\).

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + z = 0\).

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3; - 1; - 2} \right);\overrightarrow {{u_2}} \left( {1;3;1} \right)\) lần lượt là véctơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2.

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng là đường kính.

Gọi \(A\left( {4 + 3a;1 - a; - 5 - 2a} \right) \in {d_1}\) và \(B\left( {2 + b; - 3 + 3b;b} \right) \in {d_2}\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {b - 3a - 2;3b + a - 4;b + 2a + 5} \right)\).

\(AB\) là đoạn vuông góc chung của và khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {b - 3a - 2} \right) - \left( {3b + a - 4} \right) - 2\left( {b + 2a + 5} \right) = 0\\1\left( {b - 3a - 2} \right) + 3\left( {3b + a - 4} \right) + 1\left( {b + 2a + 5} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7a + b + 6 = 0}\\{2a + 11b - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Suy ra \(A\left( {1;2; - 3} \right);B\left( {3;0;1} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) là trung điểm của \(AB\), có bán kính \(R = IA = \sqrt 6 \).

Vậy phương trình \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\). Chọn C.