Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho đường thẳng d : x -2 / 2 = y + 1/ -1 = z-1 /2

4/22

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y - z - 5 = 0\). Hãy tính cosin góc tạo bởi đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

\(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).

\[\frac{1}{2}\].

\(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Giải thích

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)\).

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Gọi \[\alpha \] là góc tạo bởi đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (\[0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \]), ta có:

\[\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\].

Khi đó \[\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{1}{6}} = \frac{{\sqrt {30} }}{6}\].