Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: x=2t, y=t, z=4; d':x=t'

15/23

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:x=2ty=tz=4 và d':x=t'y=3−t'z=0. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:

(x−2)2+y2+z2=4

(x−2)2+(y−1)2+(z−2)2=2

(x−2)2+(y−1)2+(z−2)2=4

(x+2)2+(y+1)2+z2=4

Giải thích

Lấy A∈d⇒A2a;a;4 và B∈d'⇒Bb;3−b;0

Ta có: AB→=b−2a;3−a−b;−4

AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi

AB→.ud→=0AB→.ud'→=0⇔2.(b−2a)+1.(3−a−b)+0.(−4)=01.(b−2a)−1.(3−a−b)+0.(−4)=0⇔−5a+b+3=0−a+2b−3=0⇔a=1b=2

Suy ra A2;1;4,B2;1;0 và AB→=0;0;−4

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′

Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính R=AB2

Ta có I(2;1;2) và R=AB2=42=2

Vậy ta có (x−2)2+(y−1)2+(z−2)2=4

Đáp án cần chọn là: C