Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình

2/23

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

\(5\sqrt 2 \)

\[10\sqrt 2 \]

\[2\sqrt 5 \]

\[4\sqrt 5 \]

Giải thích

Phương trình mặt cầu (S) có dạng\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\]

Phương trình tham số của d là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = {R^2}}\\{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\end{array}\left( * \right)} \right.\)

(S) tiếp xúc với dd khi và chỉ khi (∗) có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - {R^2} = 0\] có nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.(56 - {R^2}) = 0 \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 \]

Suy ra đường kính của mặt cầu (S) là\[10\sqrt 2 \]

Đáp án cần chọn là: B