Trong không gian với hệ tọa độ\(Oxyz\) , cho 3 điểm A ( a; 0 ;0)

16/22

Trong không gian với hệ tọa độ\(Oxyz\) , cho 3 điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) đều dương.

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

ĐúngSai

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(G\left( {1;2;3} \right)\) sao cho \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)là \(6x + 3y + 2z + 18 = 0\)

ĐúngSai

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(H\left( {1;1;1} \right)\) sao cho \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\)là \(x + y + z - 3 = 0\)

ĐúngSai

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) sao cho độ dài \(OA,OB,OC\)theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng \(2\). Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(\frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, khi đó \(T = m + n = 19\).

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

b) Sai

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{3} = 1}\\{\frac{b}{3} = 2}\\{\frac{c}{3} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow \)\(6x + 3y + 2z - 18 = 0\)

c) Đúng

Vì \(H\left( {1;1;1} \right)\) là trực tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( {ABC} \right)}\\{\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1}\\{ - b + c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 3}\\{c = 3}\end{array}} \right.\)

Phương trình \(\left( {ABC} \right)\)là: \(x + y + z - 3 = 0\)

d) Đúng

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt tia \[Ox\] tại điểm có hoành độ bằng \(a\) \(\left( {a > 0} \right)\) khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1\).

Do \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) nên ta có \(\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1\)\( \Leftrightarrow a = 2\).

Vậy \(\left( \alpha \right)\) cắt \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;4;0} \right)\),\(C\left( {0;0;6} \right)\).

Gọi \(d = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\).

Áp dụng công thức tính nhanh ta có \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} = \frac{{49}}{{144}}\)\( \Rightarrow {d^2} = \frac{{144}}{{49}} \Rightarrow d = \frac{{12}}{7}\).

Vậy: \(T = m + n = 19\).