Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

24/40

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 1OA2+1OB2+1OC2 có giá trị nhỏ nhất.

(P):x+2y+z−14=0.

(P):x+2y+3z−14=0.

(P):x+2y+3z−11=0.

(P):x+y+3z−14=0.

Giải thích

Gọi H là trực tâm ΔABC.

Ta có BH⊥ACOB⊥AC⇒AC⊥(OBH)⇒AC⊥OH 1.

Chứng minh tương tự, ta có: BC⊥OH2.

Từ (1), (2) ta có OH⊥(ABC).

Suy ra 1OA2+1OB2+1OC2=1OH2.

Vậy để biểu thức 1OA2+1OB2+1OC2 đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất. Mà OH≤OM nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H≡M.

Khi đó OM⊥(ABC) nên (P) có một vectơ pháp tuyến là OM→=(1;2;3).

Phương trình mặt phẳng (P) là

1(x−1)+2(y−2)+3(z−3)=0⇔x+2y+3z−14=0

Chọn B.