Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), tháp hải đăng Mũi Điện
13/22
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), tháp hải đăng Mũi Điện - Phú Yên (là nơi đón ánh bình minh đầu tiên trên đất liền Tổ Quốc), chân tháp được đặt vuông góc với mặt đất (chiều từ chân tháp lên đỉnh tháp cùng hướng với chiều dương của trục \(Oz\)) ở vị trí điểm \(A\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,84} \right)\). Ngọn đèn của hải đăng được đặt trên đỉnh của tháp hải đăng hình trụ cao 26 m so với mặt đất và sử dụng pin năng lượng mặt trời, có thể phát tín hiệu ánh sáng xa khoảng 27 hải lý tương đương 50 km.
Mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng có tâm \(I\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,110} \right)\) bán kính \(R = 50000\,\left( m \right).\)
Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là \[\]\(\left( S \right)\):\[{\left( {x - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {y - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {z - 84} \right)^2} = {50.000^2}\] .
Người đi biển ở trên Cù lao Mái nhà tại vị trí \[B\left( {12.026.000\,;\,1.461.000\,;\,0} \right)\]nhìn thấy ánh đèn của ngọn hải đăng.
Điểm cực đông của mũi Điện là điểm \(C\left( {12.040.452\,;\,1.418.462\,;\,0} \right)\). Từ điểm \(C\) một chiếc tàu di chuyển trên mặt biển (mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)) theo hướng của vectơ đơn vị \(\overrightarrow i \) , để vẫn nhìn thấy ánh đèn của hải đăng thì khoảng cách tối đa tàu di chuyển là \(50.000\) mét .
a) Đúng
Khoảng cách từ tâm đèn đến mặt biển là \(84 + 26 = 110\,m\).
Mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng có tâm \(I\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,110} \right)\), bán kính \(R = 50000\,\left( m \right)\).
b) Sai
Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là
\[\]\(\left( S \right)\) \[{\left( {x - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {y - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {z - 110} \right)^2} = {50.000^2}\] .
c) Đúng
Ta có
\[I{B^2} = {\left( {12.026.000 - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.461.000 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = 1999.737.941 < {R^2}\]
Nên điểm \(B\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\). Vậy người đi biển nhìn thấy ánh đèn của ngọn hải đăng.
d) Sai
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\)và có vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\) có PTTS là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12.040.452 + t\\y = 1.418.462\\z = 0\end{array} \right.\).
Tìm điểm \(N\) là giao điểm của \(\Delta \) và mặt cầu \(\left( S \right)\):
\[{\left( {12.040.452 + t - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.418.462 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = {50.000^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {181 + t} \right)^2} = 2.499.962.936 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 49.818,6\\t \approx - 50.180\end{array} \right.\].
Do tàu chuyển động cùng hướng với hướng của vectơ đơn vị \(\overrightarrow i \) nên \(t > 0\)\( \Rightarrow t \approx 49.818,6\)
\( \Rightarrow \)\(N\left( {12.090.270,6\,;\,1.418.620\,;\,0} \right)\) \( \Rightarrow CN \approx 49.818,6\,m\).
Vậy tàu di chuyển tối đa 49.818 m để có thể nhìn thấy đèn của ngọn hải đăng