Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)
Xem toàn bộ quiz

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng

15/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Một ngọn hải đăng cao \[60{\rm{ m}}\] so với mực nước biển được đặt ở vị trí \[I\left( {30;55;60} \right)\]có bán kính phủ sáng là \(5\) km.

a) Vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\) .

b) Nếu người đi biển ở vị trí \(A\left( {7500;6500;0} \right)\) thì người đó ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.

c) Nếu ngọn hải đăng phủ sáng một vùng trên mặt biển thì diện tích vùng sáng này không vượt quá \[80\] triệu mét vuông.

d) Nếu hai người đi biển ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không vượt quá \[10\] km.

0/3000 ký tự
Giải thích

a) Đúng. Đổi \(5\,{\rm{km}} = 5000\,{\rm{m}}\), vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {7470;6445; - 60} \right) \Rightarrow IA = 9866,23155\,{\rm{m}} > 5000\,{\rm{m}}\)nên người đó không nằm trong vùng phủ sáng của hải đăng.

c) Đúng. Diện tích phủ sáng của hải đăng lên mặt biển là diện tích hình tròn có tâm là chân ngọn hải đăng, bán kính \(r = \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} = 4999,639987\,{\rm{(m)}}\), khi đó diện tích phủ sáng là

\(S = \pi {R^2} \approx 78\,528\,506,61\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} < 80\,000\,000\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

d) Đúng. Khoảng cách \(d\) của hai người trong vùng phủ sáng sẽ không vượt quá đường kính đường tròn phủ sáng trên mặt biển (câu c) , khi đó \(d \le 2r \Leftrightarrow d \le 2 \cdot \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} < 10\,000\,\,{\rm{(m)}}\), hay \(d < 10\,{\rm{km}}\).