Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz)cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng ( P ) đi qua (M) và cắt các trục tọa độ (Ox), (Oy), (Oz) lần lượt tại các điểm

18/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho điểm \(M\left( {3;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) không trùng với gốc tọa độ sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

\(3x + 2y + z + 14 = 0\).

\(2x + y + 3z + 9 = 0\).

\(3x + 2y + z - 14 = 0\).

\(2x + y + z - 9 = 0\).

Giải thích

Chọn A

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\left( {a.b.c \ne 0} \right)\)

Vì \(\left( P \right)\) qua \(M\) nên \(\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {a - 3; - 2; - 1} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { - 3;b - 2; - 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)\)

Vì M là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = c\\3a = c\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(a = \frac{{14}}{3};b = \frac{{14}}{2};c = 14\). Khi đó phương trình \(\left( P \right)\): \(3x + 2y + z - 14 = 0\)

Vậy mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\)là: \(3x + 2y + z + 14 = 0.\)