Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

84/235

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):ax + by + cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;1} \right),N\left( {1; - 3;2} \right)\). Biết rằng khoảng cách từ điểm \(P = \left( {5;0; - 4} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị biểu thức: \(T = \frac{{\left| {a + b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)?

\(T = \frac{{\sqrt {770} }}{{77}}\).

\(T = \sqrt {770} \).

\(T = \frac{{\sqrt {770} }}{{770}}\).

\(T = \frac{{23\sqrt {770} }}{{770}}\)

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đánh giá

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 3;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M,N\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = - 1 - 3t}\\{z = 1 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)

Gọi \(H\left( {2 - t; - 1 - 3t;1 + t} \right) \in MN\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên đường thẳng \(MN\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {PH} = \left( { - 3 - t; - 1 - 3t;5 + t} \right),\overrightarrow {{u_{MN}}} = \left( { - 1; - 3;1} \right)\)

Vì \(PH \bot MN \Rightarrow \overrightarrow {PH} .\overrightarrow {{u_{MN}}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 1.\left( { - 3 - t} \right) - 3\left( { - 1 - 3t} \right) + \left( {1 + t} \right) = 0\\ \Rightarrow 3 + t + 3 + 9t + 1 + t = 0\\ \Rightarrow 11t + 7 = 0\\ \Rightarrow t = - \frac{7}{{11}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {PH} = \left( { - \frac{{26}}{{11}};\frac{{10}}{{11}};\frac{{48}}{{11}}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(d\left( {P,\left( \alpha \right)} \right) \le PH\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow PH \bot \left( \alpha \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \overrightarrow {PH} = \left( {\frac{{ - 26}}{{11}};\frac{{10}}{{11}};\frac{{48}}{{11}}} \right) = \frac{2}{{11}}\left( { - 13;5;24} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\( - 13\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 24\left( {z - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 13x + 5y + 24z + 7 = 0\)

Vậy \(T = \frac{{\left| {a + b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - 13 + 5 + 24 + 7} \right|}}{{\sqrt {{{13}^2} + {5^2} + {{24}^2}} }} = \frac{{23\sqrt {770} }}{{770}}\)