Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P)

44/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt trục Ox, Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 1OA2+1OB2+1OC2 có đạt giá trị nhỏ nhất

P:x+2y+3z-14=0

P:x+2y+3z-11=0

P:x+2y+z-14=0

P:x+y+3z-14=0

Giải thích

Đáp án D.

Xét tứ diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) chính là trực tâm H của tam giác ABC và dO;(ABC)=h

Ta có 1h2=1OA2+1OB2+1OC2, nên 1OA2+1OB2+1OC2 có giá trị nhỏ nhất khi dO;ABC lớn nhất.

Mặt khác dO;ABC≤OM,∀M∈P. Dấu "=" xảy ra khi H≡M hay mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và có vectơ pháp tuyến là OM →=(1;2;3).

Vậy P:1x-1+2(y-2)+3z-3=0⇔x+2y+3z-14=0