Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bán kính mặt cầu

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - m} \right)^2} - {m^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)

Ta có bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3 .\)

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)

Vậy bán kính mặt cầu nhỏ nhất bằng \(\sqrt 3 \) khi \(m = \frac{1}{2}.\)