Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)phương trình mặt cầu đi qua hai điểm

11/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)phương trình mặt cầu đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1;2} \right),B\left( {1;1; - 2} \right)\) và có tâm thuộc trục \(Oz\) là

\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11.\)

\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.\)

\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 11.\)

\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12.\)

Giải thích

Vì tâm \(I\) của mặt cầu thuộc trục \(Oz\) nên giả sử \(I\left( {0;0;c} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {3; - 1;2 - c} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{c^2} - 4c + 14} ;\,\,\overrightarrow {IB} = \left( {1;1; - 2 - c} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {{c^2} + 4c + 6} .\)

Mà mặt cầu đi qua hai điểm \(A,B \Rightarrow IA = IB \Rightarrow \sqrt {{c^2} - 4c + 14} = \sqrt {{c^2} + 4c + 6} \Rightarrow c = 1.\)

Do đó ta có \(I\left( {0;0;1} \right);\,\,R = IA = \sqrt {11} .\) Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.\)