Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm M(0;0;2) và quan sát một thanh AB với A(4;0;−2), B(1;5;−2). Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng Oxy có

14/22

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], mắt một người quan sát đặt tại điểm \[M\left( {0;0;2} \right)\] và quan sát một thanh $AB$ với \[A\left( {4;0; - 2} \right)\],\[B\left( {1;5; - 2} \right)\]. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $Oxy$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R$ và che khuất hoàn toàn thanh $AB$ đối với người quan sát tại điểm $M$. $Để che khuất hoàn toàn thanh $AB$ thì đường tròn có (ảnh 1)$

Đường thẳng $AB$ tạo với mặt phẳng chứa tấm bìa một góc $60^\circ $.

ĐúngSai

Vec tơ$\overrightarrow {MA} = \left( {4;0; - 4} \right)$.

ĐúngSai

Phương trình đường thẳng $MA:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 0\\z = - 2 - t\end{array} \right.\,\left( {\,t \in \mathbb{R}} \right)$.

ĐúngSai

Tấm bìa có bán kính nhỏ nhất bằng $4\sqrt 2 $.

ĐúngSai

Giải thích

a) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;5;0} \right)$

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$

Gọi $\left( \alpha \right)$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$:

$\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = 0 \Rightarrow \alpha = {0^{\rm{o}}}$. Suy ra là mệnh đề sai.

b) $\overrightarrow {MA} = \left( {4;0; - 4} \right)$. Suy ra là mệnh đề đúng.

c) Phương trình đường thẳng $MA$:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 0\\z = - 2 - t\end{array} \right.$. Suy ra là mệnh đề đúng.

d) Gọi $C$ là giao điểm của đường thẳng $MA$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ suy ra $C\left( {2;0;0} \right)$.

$\overrightarrow {MB} = \left( {1;5; - 4} \right)$

Phương trình đường thẳng $MB$ là

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 5 + 5t\\z = - 2 - 4t\end{array} \right.$

Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $MB$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ thì $D\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2};0} \right)$.

$OC = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {0^2}} = 2$; $OD = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{2} \approx 2,55$.

Để che khuất hoàn toàn thanh $AB$ thì đường tròn có bán kính nhỏ nhất là $R = \frac{{\sqrt {26} }}{2}$.

$4\sqrt 2 \approx 5,7$. Suy ra là mệnh đề sai.