Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị đo trên các trục là km), một máy bay phản lực đang bay thẳng theo lộ trình Δ là đường thẳng có phương trình Δ: (x − 50)/3 = (y + 20)/(−4) = (z − 10

16/22

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] (đơn vị đo trên các trục là km), một máy bay phản lực đang bay thẳng theo lộ trình \[\Delta \] là đường thẳng có phương trình \[\Delta :\frac{{x - 50}}{3} = \frac{{y + 20}}{{ - 4}} = \frac{{z - 10}}{1}\]. Radar tại trạm kiểm soát không lưu phát hiện một khối mây dông tích điện nguy hiểm có dạng hình cầu \[(S)\] với tâm \[C(200; - 300;60)\] và bán kính \[R = 80{\mkern 1mu} km\]. Tại thời điểm quan sát, máy bay đang ở vị trí \[A(50; - 20;10) \in \Delta \].

[NB] Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \] là \[\vec u = (5; - 2;1)\].

ĐúngSai

[TH] Đường thẳng \[\Delta \] nằm trong mặt phẳng \[(P):4x + 3y = 140\].

ĐúngSai

[TH] Nếu tiếp tục giữ nguyên lộ trình \[\Delta \] thì máy bay phản lực sẽ bay xuyên qua (bay vào bên trong) khối mây dông có dạng hình cầu (S).

ĐúngSai

[VD] Gọi M là điểm trên đường thẳng \[\Delta \] mà tại đó máy bay phản lực gần tâm C của hình cầu (S) nhất. Biết rằng tốc độ máy bay phản lực không đổi là \[500{\mkern 1mu} km/h\]. Thời gian máy bay phản lực đó di chuyển từ vị trí điểm A đến điểm M nhỏ hơn 30 phút.

ĐúngSai

Giải thích

Đáp án: a)S b)Đ c)Đ d)S

a) Sai.

Vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là \[{\vec u_\Delta } = (3; - 4;1)\]. Kết luận: SAI.

b) Đúng

- Xét tích vô hướng: \[{\vec u_\Delta } \cdot {\vec n_P} = 3 \cdot 4 + ( - 4) \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 12 - 12 + 0 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \parallel (P)\\\Delta \subset (P)\end{array} \right..\]

- Lấy điểm \[A(50; - 20;10) \in \Delta \]. Thay tọa độ A vào (P): \[4.50 + 3.( - 20) - 140 = 200 - 60 - 140 = 0\] (Thỏa mãn).

Vì \[A \in (P)\]nên đường thẳng \[\Delta \] nằm trong mặt phẳng (P). Kết luận: ĐÚNG.

c) Đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {AC} = (200 - 50; - 300 - ( - 20);60 - 10) = (150; - 280;50)\]; \[{\vec u_\Delta } = (3; - 4;1)\]

\[d(C,\Delta ) = \frac{{|[\overrightarrow {AC} ,{{\vec u}_\Delta }]|}}{{|{{\vec u}_\Delta }|}} = \frac{{\sqrt {{{( - 80)}^2} + {0^2} + {{240}^2}} }}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{80\sqrt {10} }}{{\sqrt {26} }} \approx 49,6{\mkern 1mu} (km)\]

Vì \[d(C,\Delta ) \approx 49,6 < R = 80\]nên máy bay sẽ bay xuyên qua khối mây. Kết luận: ĐÚNG.

d) Sai.

M là hình chiếu của C lên \[\Delta \], nên M thuộc \[\Delta \]. Tham số hóa tọa độ M:

\[M(50 + 3t; - 20 - 4t;10 + t) \Rightarrow \overrightarrow {CM} = (3t - 150; - 4t + 280;t - 50).\]

Vì \[\overrightarrow {CM} \bot {\vec u_\Delta }\] nên:

\[\begin{array}{l}3(3t - 150) - 4( - 4t + 280) + 1(t - 50) = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 450 + 16t - 1120 + t - 50 = 0 \Leftrightarrow 26t = 1620 \Leftrightarrow t = \frac{{810}}{{13}}\end{array}\]

Quãng đường AM là: \[AM = \sqrt {{{(3t)}^2} + {{( - 4t)}^2} + {t^2}} = |t|\sqrt {26} = \frac{{810}}{{13}} \cdot \sqrt {26} \approx 317,7{\mkern 1mu} (km)\]

Thời gian di chuyển T: \[T = \frac{S}{v} = \frac{{317,7}}{{500}} \approx 0,6354{\mkern 1mu} (h) \approx 38,1p > 30p\]

nên khẳng định thời gian nhỏ hơn 30 phút là sai. Kết luận: SAI.