Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0;0;0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km
99/235
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0;0;0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(-688;-185;8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (91;75;0)\) và hướng về đài kiểm soát không lưu (Lưu hình vẽ). Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Đáp án: ____
Phương pháp giải
Gọi H là vị trí máy bay gần nhất.
Từ \(OH \bot d\) tìm tọa độ điểm H.
Từ đó tính OH nhỏ nhất.
Giải chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 688 + 91t,}\\{y = - 185 + 75t,}\\{z = 8.}\end{array}} \right.\)
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng cách OH là ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu,
điều này xảy ra khi và chỉ khi\(OH \bot d\).
Vì \(H \in d\) nên\(H( - 688 + 91t;{\mkern 1mu} - 185 + 75t;{\mkern 1mu} 8).\)
Ta có \(\overrightarrow {OH} = ( - 688 + 91t;{\mkern 1mu} - 185 + 75t;{\mkern 1mu} 8).\)
Điều kiện \(OH \bot d\) tương đương \(\overrightarrow {OH} \cdot \vec u = 0\)
\( \Leftrightarrow ( - 688 + 91t) \cdot 91 + ( - 185 + 75t) \cdot 75 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{2}.\)
Suy ra \(H\left( { - \frac{{375}}{2};{\mkern 1mu} \frac{{455}}{2};{\mkern 1mu} 8} \right).\)
Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là
\(OH = \sqrt {{{\left( { - \frac{{375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{455}}{2}} \right)}^2} + {8^2}} \approx 295\;{\rm{(km)}}.\)