a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(d:\frac{1}{1} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = \frac{3}{2}\)( không thỏa mãn). Vậy \(M \notin d\) nên a sai.

b) Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\Delta \) có VTCP là \({\overrightarrow u _{_\Delta }} = {\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\(\Delta \) đi qua \(M\) nên phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\) suy ra b) sai

c) Đường thẳng \(d\) có VTCP \({\overrightarrow u _{_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\left( P \right)\) có VTPT là \({\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow n _{_P}} = 1 - 2 - 4 = - 5 \ne 0\) nên d cắt \(\left( P \right)\) suy ra c) sai

d)

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( P \right)\);

· Tọa độ \(A = d \cap \left( P \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z + 2 = 0\\\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2} = \frac{{x + 2y - 2z + 2}}{{1 - 2 - 4}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right)\).

· Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1;2} \right).\)

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}} = (1;2; - 2)\).

Suy ra \(\left( Q \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = ( - 2;4;3)\).

· Khi đó do \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) nên \(\)\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (14;1;8)\) là vectơ chỉ phương của \((d')\).

· Đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( {0;0;1} \right)\) và có VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {14;1;8} \right)\) có phương trình chính tắc là \[d':\frac{x}{{14}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{8}.\]

Vậy d) đúng.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng qua M ( 2;1;3), A ( 0;0;4) và