Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 3), B(2; −1; 0), C(−1; −1; 4), D ( 3 ; 1 ; − 2 ) . Khi đó (a) Đường thẳng đi qua AB có vectơ chỉ phương là → u = ( 2 ; − 6

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {2; - 6; - 6} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow u \).

Do đó đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 6; - 6} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {CD} = \left( {4;2; - 6} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 1.4 + \left( { - 3} \right).2 + \left( { - 3} \right).\left( { - 6} \right) = 16 \ne 0\).

Do đó đường thẳng AB không vuông góc với đường thẳng CD.

c) Có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2; - 1; - 5} \right)\).

Có \(\cos \left( {AB,AD} \right) = \frac{{\left| {1.2 - 3.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {570} }} \Rightarrow \left( {AB,AD} \right) \approx 33^\circ \).

d) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;0;4} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {1;2; - 2} \right),\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 8; - 2; - 6} \right) = - 2\left( {4;1;3} \right) = 2\overrightarrow n \).

Mặt phẳng (BCD) nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\sin \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.4 - 3.1 - 3.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{4^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {494} }}\) \( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) \approx 21^\circ \).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.