Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là: x/1 =( y − 6)/ − 4 = (z − 6)/ − 3 . Biết rằng điểm M ( 0 ; 5 ; 3 ) thuộc đường t

5/25

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \[ABC\]có phương trình đường phân giác trong góc \[A\]là: \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 6}}{{ - 4}} = \frac{{z - 6}}{{ - 3}}\]. Biết rằng điểm \[M\left( {0;\,5;\,3} \right)\]thuộc đường thẳng \[AB\]và điểm \[N\left( {1;1;0} \right)\]thuộc đường thẳng \[AC\]. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AC\]?

\(\vec u = \left( {1;\,2;\,3} \right)\).

\(\vec u = \left( {0;\,1;\,3} \right)\).

\(\vec u = \left( {0;\, - 2;\,6} \right)\).

\(\vec u = \left( {0;\,1;\, - 3} \right)\).

Giải thích

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc \[A\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 6 - 4t\\z = 6 - 3t\end{array} \right.\]\[\left( d \right)\].

Gọi \[D\]là điểm đối xứng với \[M\]qua \[\left( d \right)\]. Khi đó \[D \in AC\]\[ \Rightarrow \]đường thẳng \[AC\]có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {ND} \].

Ta xác định điểm \[D\].

Gọi \[K\]là giao điểm \[MD\]với \[\left( d \right)\]. Ta có \[K\left( {t;\,6 - 4t;\,6 - 3t} \right)\]; \[\overrightarrow {MK} = \left( {t;\,1 - 4t;\,3 - 3t} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {MK} \bot {\vec u_d}\]với \[{\vec u_d} = \left( {1;\, - 4;\, - 3} \right)\]nên \[t - 4\left( {1 - 4t} \right) - 3\left( {3 - 3t} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[K\left( {\frac{1}{2};\,4;\frac{9}{2}} \right)\], mà \[K\]là trung điểm \[MD\]nên \[\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_K} - {x_M}\\{y_D} = 2{y_K} - {y_M}\\{z_D} = 2{z_K} - {z_M}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 1\\{y_D} = 3\\{z_D} = 6\end{array} \right.\]hay \[D\left( {1;\,3;\,6} \right)\].

Một vectơ chỉ phương của \[AC\]là \[\overrightarrow {DN} = \left( {0;\, - 2;\, - 6} \right)\]. Hay \[\vec u = \left( {0;\,1;\,3} \right)\]là vectơ chỉ phương. Chọn B.