Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho (P) :x - y + z - 2 = 0

Gọi \[d'\] là đường thẳng qua \[A\] và song song với \[d\]. Trên \[d'\] lấy điểm \[I\]; \[H\]là hình chiếu vuông góc của \[I\] trên \[\left( P \right)\]và \[K\] là hình chiếu vuông góc của \[H\]trên \[\Delta \].

Khi đó \[\left( {d,\Delta } \right) = \left( {d',\Delta } \right) = \widehat {IAK} = \alpha \].

mà \[\sin \alpha  = \frac{{IK}}{{IA}} \ge \frac{{IH}}{{IA}}\] suy ra \[{\alpha _{\min }} \Leftrightarrow H \equiv K\] hay \[\Delta \] qua \[A\] và \[H\], hay \[\Delta \] là hình chiếu vuông góc của \[d'\] trên \[\left( P \right)\].

Ta có: \[\left( P \right)\]có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1\,;\, - 1\,;\,1} \right)\], \[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\], suy ra \[\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} \,} \right] = \left( {4\,;\,3\,;\, - 1} \right)\].

\[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( {AIH} \right)}}} } \right] = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right] = \left( { - 2\,;\,5\,;\,7} \right)\]\[ \Rightarrow \Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{7}\]

                 Khi đó \[\Delta  \cap \left( {Oxy} \right) = B \Rightarrow B\left( {\frac{{16}}{7}\,;\,\frac{2}{7}\,;\,0} \right)\], do đó \[m = \frac{{16}}{7},\,n = \frac{2}{7},\,p = 0\].

Vậy \[T = 7m + 7n + p = 18\].