Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho mặt phẳng đi qua điểm M(2;-1;0) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C

78/235

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho mặt phẳng $α$ đi qua điểm M(2;-1;0) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d = 3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng $α$ .Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. (nhập đáp án vào ô trống )

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Lập phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ($\alpha $)

Lời giải

$A \in Ox \Rightarrow A\left( {a,0,0} \right),B \in Oy \Rightarrow B\left( {0,b,0} \right),C \in Oz \Rightarrow C\left( {0,0,c} \right)$ với $abc \ne 0$ và $a > 0,b > 0,c > 0$

Phương trình mặt phẳng ($\alpha $) có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow \frac{2}{a} - \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow 2b - a = ab$ (*).

Ta có: $OA = a,OB = b,OC = c$ lập thành cấp số cộng với công sai $d = 3$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = a + 3}\\{c = a + 6}\end{array}} \right.$

Thay $b = a + 4$ vào phương trình (*) ta được:

$2\left( {a + 3} \right) - a = \left( {a + 3} \right)a \Rightarrow 2a + 6 - a = {a^2} + 3a \Leftrightarrow {a^2} + 2a - 6 = 0$

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \sqrt 7 - 1\left( L \right)}\\{a = \sqrt 7 - 1}\end{array}} \right.$

Với $a = - \sqrt 7 - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \sqrt 7 + 2}\\{c = \sqrt 7 + 5}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là:

$\frac{x}{{\sqrt 7 - 1}} + \frac{y}{{\sqrt 7 + 2}} + \frac{z}{{\sqrt 7 + 5}} = 1$

$ \Rightarrow d\left( {O;\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\frac{{\sqrt {125 - 34\sqrt 7 } }}{9}}} = \frac{9}{{\sqrt {125 - 34\sqrt 7 } }} \approx 2$