Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát: (m + 1)x – 2y + z – 5 = 0 với m là tham số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.                   b) Đúng.            c) Sai.                d) Đúng.

a) Sai. Thay m = 2 vào phương trình mặt phẳng (Q): (m + 1)x – 2y + z – 5 = 0.

Ta có: 3x – 2y + z – 5 = 0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;1} \right)\).

b) Đúng. Điều kiện để với mọi m thì phương trình đã cho luôn là phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q): (m + 1)x – 2y + z – 5 = 0 .

(m + 1)2 + (−2)2 + 12 > 0 ⇔ (m + 1)2 + 5 > 0 với mọi giá trị của m.

c) Sai. Thay m = −3 vào phương trình mặt phẳng (Q): (m + 1)x – 2y + z – 5 = 0.

Ta có: −2x −2y + z – 5 = 0.

Vecơ pháp tuyến của (Q) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; 8) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\) là:

−2(x – 1) −2(y – 2) + z – 8 = 0 ⇔ −2x – 2y + z – 2 = 0.

d) Đúng. Thay A(0; 2; 9) vào phương trình mặt phẳng (Q) ta có:

− 2∙2 + 9 – 5 = 0.

Vậy với mọi giá trị của tham số m, mặt phẳng (Q) luôn đi qua điểm A(0; 2; 9).