Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát: (3m − 1)x + 14y − 4z – 5 = 0 với m là tham số. Biết mặt phẳng (Q) nhận hai vectơ u  =( - 3; - 1;4) và vecto v

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.         b) Sai.                c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)\).

b) Sai. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) từ phương trình tổng quát là: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {3m - 1;14; - 4} \right)\).

Để (Q) nhận hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) làm cặp vectơ chỉ phương thì vectơ \(\overrightarrow {{n_Q}} \) phải cùng phương với tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)\).

⇒ \(\overrightarrow {{n_Q}}  = k \cdot \left( { - 5;7; - 2} \right) = \left( { - 5k;7k; - 2k} \right)\).

Khi đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 =  - 5k}\\{14 = 7k}\\{ - 4 =  - 2k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 =  - 5k{\rm{ }}}\\{k = 2{\rm{           }}}\\{k = 2{\rm{         }}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 =  - 10}\\{k = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 3}\\{k = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

c) Sai. Với m = 2 mặt phẳng (Q) có phươmg trình là: 5x + 14y −4z – 5 = 0.

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(0; 2; −1) và nhận \(\overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {5;14; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

5x + 14(y – 2) − 4(z + 1) = 0 ⇔ 5x + 14y – 4z – 32 = 0.

d) Đúng. Để \(\overrightarrow a \) là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) thì \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow {{n_Q}}  = 0\).

Ta có: 0∙(3m – 1) + 2∙14 + 7∙(−4) = 0.