Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm

10/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\left( {1;1;3} \right)\).

\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 27\).

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 27\).

\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 27\).

\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 27\).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Khi đó đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) thì \(I = d \cap \left( {Oxy} \right)\), suy ra \(I\left( {4;4;0} \right)\).

Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = \sqrt {27} \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 27\).