Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 2z − 15 = 0 và hai điểm A ( − 2 ; 1 ; 0 ) , B ( 2 ; 1 ; 3 ) . Mặt cầu ( S ) đi qua A, B và tiếp xúc với mặt phẳng ( P

Đáp án: 6.

Thay tọa độ \(A( - 2;1;0)\) và \(B(2;1;3)\) vào phương trình mặt phẳng \((P):x - y + 2z - 15 = 0\):

 Tại \(A\): \( - 2 - 1 + 2(0) - 15 =  - 18 < 0\)

 Tại \(B\): \(2 - 1 + 2(3) - 15 =  - 8 < 0\)

Vì cả hai giá trị đều âm, \(A\) và \(B\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \((P)\). Điều này cho thấy đường thẳng AB sẽ cắt mặt phẳng \((P)\) tại một điểm \(M\).

 Vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {AB}  = (4;0;3)\).

 Phương trình đường thẳng AB:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 4t}\\{y = 1}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)

 Tìm \(M\): Thay vào phương trình \((P)\):

\(( - 2 + 4t) - 1 + 2(3t) - 15 = 0 \Rightarrow 10t - 18 = 0 \Rightarrow t = \frac{9}{5}\)

 Tọa độ điểm \(M(\frac{{26}}{5};1;\frac{{27}}{5})\).

Vì mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) tại \(H\), nên mọi đường thẳng đi qua \(H\) nằm trong \((P)\) đều là tiếp tuyến. Đặc biệt, MH là tiếp tuyến của mặt cầu \((S)\).

Theo tính chất phương tích của điểm \(M\) đối với mặt cầu \((S)\):

\(M{H^2} = MA \cdot MB\)

 Tính độ dài MAvà MB:

o \(MA = \sqrt {{{(\frac{{26}}{5} - ( - 2))}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(\frac{{27}}{5} - 0)}^2}}  = \sqrt {{{(\frac{{36}}{5})}^2} + {{(\frac{{27}}{5})}^2}}  = \frac{9}{5}\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 9\)

o \(MB = \sqrt {{{(\frac{{26}}{5} - 2)}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(\frac{{27}}{5} - 3)}^2}}  = \sqrt {{{(\frac{{16}}{5})}^2} + {{(\frac{{12}}{5})}^2}}  = \frac{4}{5}\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 4\)

Do đó: \(M{H^2} = 9 \cdot 4 = 36 \Rightarrow {\bf{MH}} = {\bf{6}}\).

 Điểm \(M\) cố định (giao điểm của AB và \((P)\)).

 Điểm \(H\) luôn nằm trên mặt phẳng \((P)\).

 Khoảng cách \(MH = 6\) không đổi.

Trong mặt phẳng \((P)\), tập hợp các điểm \(H\) cách điểm \(M\) một khoảng cố định bằng \(6\) chính là một đường tròn tâm \(M\) và bán kính \(R = 6\).