Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu

4/10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−2z+5=0. Giả sử M∈(P) và N∈(S) sao cho MN→ cùng phương với vectơ u→=(1;0;1) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

MN=3.

MN=1+22.

MN=32.

MN=14.

Giải thích

S có tâm I(−1;2;1) và bán kính R=1.

Ta có: d(I,(P))=|−1−2.2+2.1−3|12+22+22=2>R.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng P và α là góc giữa MN và NH

Vì MN→ cùng phương với u→ nên góc α có số đo không đổi.

ΔMNH vuông tại H có α=HNM^ nên HN=MN.cosα⇒MN=1cosα.HN

Do đó MN lớn nhất ⇔HN lớn nhất ⇔HN=d(I,(P))+R=3.

Có cosα=cos(u→,nP→)=12 nên MN=1cosαHN=32.

Chọn C.