Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 2z − 2 = 0 và điểm I ( − 1 ; 2 ; − 1 ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt mặt phẳng ( P ) theo gi

35/49

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0$ và điểm $I\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)$. Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $5$.

$\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25$.

$\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16$.

$\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 34$.

$\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 34$.

Giải thích

$Gọi $h$ là khoảng cách từ tâm \(I\ (ảnh 1)$

Gọi $h$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ ta có: $h = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 4 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3$.

Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là:

$R = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{5^2} + {3^2}} = \sqrt {34} $.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 34$. Chọn D.