Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng ( P ) có phương trình:\(ax + by + cz - 1 = 0\)

11/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình:\(ax + by + cz - 1 = 0\) với \(c < 0\) đi qua \[2\] điểm \(A\left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\) và tạo với \(\left( {Oyz} \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính tổng \(S = a + b + c\)?

\[1 + \sqrt 2 \].

\[1 - \sqrt 2 \].

\[2 + \sqrt 2 \].

\[2 - \sqrt 2 \].

Giải thích

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\). Mặt \(\left( {Oyz} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i = \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tọa bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) suy ra \(\alpha = 60^\circ \).

Ta có: \[\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 2\left| a \right|\] (*).

Thay \(a = b = 1\) vào phương trình (*) ta được: \(\sqrt {2 + {c^2}} = 2 \Rightarrow c = - \sqrt 2 \).

Khi đó \(a + b + c = 2 - \sqrt 2 \).