Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2y − z + 3 = 0 và điểm A(2; 0; 0). Mặt phẳng (α) đi qua A, vuông góc với (P), cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 4/3 và cắt các tia Oy,

Gọi 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {0;2; - 1} \right)\).

Do \(\left( \alpha  \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {{n_P}}  = 0 \Leftrightarrow 2B - C = 0 \Leftrightarrow C = 2B\).

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):Ax + By + 2Bz + D = 0\)

Do \(A \in \left( \alpha  \right) \Leftrightarrow D =  - 2A\). Vậy \(\left( \alpha  \right):Ax + By + 2Bz - 2A = 0\).

Do \(\left( \alpha  \right)\) cắt tia \(Oy\) và \(Oz\) nên \(A,B\) cùng dấu.

Mặt khác: \(d\left( {O,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2A} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {{\left( {2B} \right)}^2}} }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2A} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + 5{B^2}} }} = \frac{4}{3}\).

\( \Leftrightarrow 36{A^2} = 16\left( {{A^2} + 5{B^2}} \right) \Leftrightarrow {A^2} = 4{B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\left( {TM} \right)\\\frac{A}{B} =  - 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

Với \(\frac{A}{B} = 2\). Chọn \(A = 2 \Rightarrow B = 1\). Khi đó: \(\left( \alpha  \right):2x + y + 2z - 4 = 0\). Do đó: \(B\left( {0;4;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;2} \right)\).

Vậy \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 = \frac{8}{3}\). Chọn B.