Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng

17/22

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và cắt các tia \[Ox,Oy,Oz\]lần lượt tại \[A,B,C\] sao cho độ dài \[OA,\,OB,\,OC\]theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \[3\]. Khi đó phương trình mặt phẳng \[(\alpha )\] có dạng \(Ax + By + z + D = 0\), \(\left( {A,B,D \in \mathbb{R}} \right)\). Giá trị của biểu thức \(A + B + D\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Gọi \[A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\], điều kiện \[a > 0;b > 0;c > 0\]

Độ dài \[OA,OB,OC\]theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \[3\]

Suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OB = 3OA}\\{OC = 3OB}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 3a}\\{c = 3b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 3a}\\{c = 9a}\end{array}} \right.} \right.\]

Nên \[A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;3a;0} \right),C\left( {0;0;9a} \right)\]

Khi đó phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là: \[\frac{x}{a} + \frac{y}{{3a}} + \frac{z}{{9a}} = 1\].

Vì \[M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right)\]nên \[\frac{1}{a} + \frac{2}{{3a}} + \frac{3}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow 6 = 3a \Leftrightarrow a = 2\]

\[ \Rightarrow \left( \alpha \right):\]\[\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow \left( \alpha \right):9x + 3y + z - 18 = 0\]

\( \Rightarrow A = 9,B = 3,D = - 18 \Rightarrow A + B + D = - 6\).