Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) đi qua điểm H ( 2 ; 1 ; 1 ) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C (khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam

12/88

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$đi qua điểm $H\left( {2;1;1} \right)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại $A$, $B$, $C$ (khác gốc toạ độ $O$) sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$có phương trình là:

\[2x + y + z - 6 = 0\].

\[2x + y + z + 6 = {\rm{ }}0\].

\[2x - y + z + 6 = {\rm{ }}0\].

\[2x + y - z + 6 = {\rm{ }}0\].

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Gọi ba điểm\[A\left( {a;0;0} \right)\], \[B\left( {0;{\rm{ }}b;{\rm{ }}0} \right)\], \[C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ }}c} \right)\] với \[abc \ne 0\], khi đó phương trình có dạng:

\[(P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\].

Để \[H\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)\] là trực tâm\[\Delta ABC\], điều kiện là:

$\{\begin{cases} H A ⊥ B C \\ H B ⊥ A C \\ H \in (P) \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{H A} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{H B} . \vec{A C} = 0 \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} b - c = 0 \\ 2 a - c = 0 \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = c = 6 \end{cases} .$

Thay \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] vào (1), ta được: \[(P):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1\]\[ \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\].