Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\

92/235

Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{Ox}}yz,\] cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9\)và mặt phẳng \[\left( P \right){\rm{ }}:{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}24{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)trên \(\left( P \right).\) Điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đoạn \(MH\) có độ dài lớn nhất. Tọa độ điểm \(M\) là

\(\left( {3;4;2} \right).\)

\(\left( { - 1;0;4} \right).\)

\(\left( {1;2;0} \right).\)

\(\left( {3;1;1} \right).\)

Giải thích

Giải chi tiết:

Mặt cầu \((S){\rm{ c\'o t\^a m }}I(1;2;3),R = 3.{\rm{ }}\)

Đoạn thẳng \(MH\) có độ dài lớn nhất khi ba điểm \(M,I,H\) thẳng hàng.

\({\rm{Ta c\'o }}IM \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = k{\vec n_P} = (2k;2k; - k).{\rm{ }}\)

\({\rm{Suy ra }}IM = \sqrt {{{(2k)}^2} + {{(2k)}^2} + {{( - k)}^2}} = 3|k| = 3 \Rightarrow k = \pm 1.{\rm{ }}\)

Với \(k = 1:\overrightarrow {IM} = (2;2; - 1) = ({x_M} - 1;{y_M} - 2;{z_M} - 3) \Rightarrow {M_1}(3;4;2).{\rm{ }}\)

Ta có độ dài của \(MH\) là khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\left( P \right).\)

Tính được\({\rm{ }}d({M_1},(P)) = 12,d({M_2},(P)) = 6,{\rm{ }}\)nên ta lấy điểm có tọa độ \(\left( {3;4;2} \right).\)

Đáp án cần chọn là: A