Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có đường kính AB , I(3;2;-2) là trung điểm AB

50/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, I(3;2;−2) là trung điểm AB. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là đường tròn (C) ((C) là giao của (S) và (P)) có thể tích lớn nhất. Biết (C) có bán kính r=2103, viết phương trình mặt cầu (S).

(x−3)2+(y−2)2+(z+2)2=40.

(x−3)2+(y−2)2+(z+2)2=5.

(x+3)2+(y+2)2+(z−2)2=5.

(x−3)2+(y−2)2+(z+2)2=5.

Giải thích

Media VietJack

Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R, (C) có tâm H, bán kính r. Đặt AH=x (0<x<2R), ta có

V(N)=13AH⋅S(C)=13AH⋅πr2.

Do AB là đường kính nên ta có r2=AH⋅HB=x(2R−x). Khi đó

V(N)=π3x2(2R−x)=π3(−x3+2Rx2)=π3f(x).

Xét hàm số f(x)=−x3+2Rx2 trên (0;2R), f'(x)=−3x2+4Rx, f'(x)=0⇔x=0x=43R.

Bảng biến thiên f(x):

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên, ta có V(N) lớn nhất khi x=43R hay AH=23AB. Mà AH⋅HB=r2=409. Suy ra

23AB⋅13AB=409⇒AB=25⇒R=5.

Suy ra (S):(x−3)2+(y−2)2+(z+2)2=5.