Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho mặt cầu S

47/233

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1; - 2;1} \right)\); bán kính \(R = 4\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất.

\(O\left( {0;0;0} \right)\).

\(A\left( {1;\frac{3}{5}; - \frac{1}{4}} \right)\).

\(B\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).

\(C\left( {2;1;0} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(H\left( {2t;1 - 2t; - 1 - t} \right)\) là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(d\).

Ta có:\(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow 2\left( {2t - 1} \right) - 2\left( {3 - 2t} \right) - \left( { - 2 - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{5}{3}} \right)\).

Vì \(IH = \sqrt {10} < 4 = R \Rightarrow d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bất kì chứa \(d\) luôn cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn bán kính \(r\).

Khi đó \({r^2} = {R^2} - {d^2}\left( {I,\left( Q \right)} \right) \ge {R^2} - {d^2}\left( {I,d} \right) = 16 - 10 = 6\).

Do vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,d} \right)\) hay mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\) nhận \(\overrightarrow {IH} = \left( {\frac{1}{3};\frac{5}{3}; - \frac{8}{3}} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, do đó \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + 5y - 8z - 13 = 0\).

Khi đó điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có khoảng cách đến \(\left( P \right)\) lớn nhất.